Matemática
Durante a quarentena do
coronavírus, várias pessoas se desafiaram com uns sistemas de equações um tanto
curiosos, onde as variáveis são representadas por figurinhas. O princípio para
resolver é exatamente o mesmo que nas aulas do sétimo ou oitavo anos do ensino
fundamental. Quando os sistemas de equações possuem muitas variáveis, passa a
ser interessante trabalhar na forma matricial, mas aí estamos falando de algo
mais avançado. Nessa postagem, você irá aprender como resolver esses sistemas
de equações e não fazer feio nos desafios que aparecerem!
[Resolvendo os sistemas de equações na aula. Imagem: Gerd Altmann/Pixabay] |
O QUE SÃO OS SISTEMAS DE EQUAÇÕES?
Sistemas de equações são um
conjunto de equações que relacionam mais de uma variável. Para que se defina os
valores exatos de cada variável naquele sistema, são necessárias tantas
equações quanto variáveis, e que elas apareçam em mais de uma equação do
sistema. Especificamente naquele sistema de equações, a variável assume exatamente
o mesmo valor em todas as sentenças.
O grau de um sistema de
equações é definido pelo maior expoente das variáveis presentes, se elas não
estiverem sendo multiplicadas entre si. O sistema de equações:
| 2x + y = 7
| 3x – y = 8
é de primeiro grau, pois
não há variáveis multiplicadas entre si, nem há variáveis com expoente maior do
que 1. Quando um sistema de equações é de 2º grau ou superior, é importante não
somar elementos com expoentes diferentes (por exemplo x e x²). Para a resolução,
existem dois métodos possíveis, o método da adição e o método da
substituição.
Método da adição
No método da adição, somamos
duas equações, chegando a uma equação com uma variável. Isso é útil quando
temos uma variável com coeficiente com sinal contrário na outra equação. Vamos ao
nosso exemplo:
| 2x + y = 7
| 3x – y = 8
5x = 15
x = 15/5 = 3
x = 15/5 = 3
Após somar as equações e
achar o valor de uma variável do sistema, substituiremos o valor em qualquer
uma das equações e encontraremos o valor da outra variável:
3 • 3 – y = 8
9 – y = 8
- y = 8 - 9
y = - 8 + 9
y = 1
Com isso, obtemos o
conjunto solução S = {(3, 1)}
Método da substituição
No método da substituição,
isolamos uma variável e substituímos seu valor na equação seguinte. Sabendo o
valor de uma variável, vamos inserir nas demais equações e encontrar o valor
das outras variáveis. Vamos resolver o nosso exemplo por esse método:
| 2x + y = 7
| 3x – y = 8
2x + y = 7
y = 7 – 2x
3x – y = 8
3x – (7 – 2x) = 8
3x – 7 + 2x = 8
3x + 2x = 8 – 7
5x = 15
x = 15/5 = 3
2x + y = 7
2 • 3 + y = 7
y = 7 - 2 • 3 = 7 – 6 = 1
Destarte, obtemos também o
conjunto solução S = {(3, 1)}. Note que a forma de resolver não interferiu na
resolução.
RESOLVENDO OS SISTEMAS COM FIGURINHAS
Vamos resolver alguns
sistemas de equações que estão nos desafios da internet. Veja que eles não são
sistemas de equações de primeiro grau, mas vamos resolver primeiro a parte que
é para só depois resolver a equação final
As equações mágicas
Para resolvermos essas
equações mágicas, vamos chamar a bruxa 🧙🏻♀️
de b, a varinha mágica ⭐ de
m e a vassoura🧹 de
v. Com isso, temos o seguinte sistema:
| (b+ v + m) + (b + v + m) + (b + v + m) = 45
| m + m + m = 21
| v + v + v = 12
Vamos resolver por
substituição:
v + v + v = 12
3v = 12
v = 12/3 = 4
m + m + m = 21
3m = 21
m = 21/3 = 7
(b+ v + m) + (b + v + m) + (b + v + m) = 45
3(b + v + m) = 45
b + v + m = 45/3
b + v + m = 15
b = 15 - v - m
b = 15 - 4 – 7 = 4
Com as substituições, vamos
saber quanto vale o ❓:
| v + b • m = ❓
v + b • m = ❓
4 + 4 • 7 = ❓
4 + 28 = ❓
32 = ❓
As equações atléticas
[As equações atléticas com o esportista, a faixa e os tênis. Imagem: Circulando pelas redes sociais] |
Para resolvermos essas
equações atléticas, vamos chamar o esportista🤾🏻♀️
de e, a faixa de pano 🔴 de
f e o tênis 👟 de
t. Com isso, temos o seguinte sistema:
| 2t + 2t + 2t = 30
| e + e + 2t = 20
| 2f + 2f + e = 13
Vamos resolver por
substituição:
2t + 2t + 2t = 30
6t = 30
t = 30/6 = 5
e + e + 2t = 20
2e + 2t = 20
2e = 20 – 2t
e = (20 – 2t)/2
e = 10 - t
e = 10 - 5
e = 5
2f + 2f + e = 13
4f + e = 13
4f = 13 - e
f = (13 - e)/4
f = (13 - 5)/4
f = 8/4 = 4
Com as substituições, vamos
saber quanto vale o ❓:
| t + (e + f) • f = ❓
t + ef + f² = ❓
5 + 5 • 4 + 4² = ❓
5 + 20 + 16 = ❓
41 = ❓
As equações das bananas
As equações das bananas são
mais difíceis, pois todos os elementos mudam de uma equação para outra, sendo
necessário montar certinho o sistema de equações. Para resolvermos, vamos
chamar as arestas dos polígonos 🛑 de
a, cada banana do cacho 🍌 de
b e a hora do relógio 🕙 de
h. Com isso, temos o seguinte sistema:
| (4a + 5a + 6a) + (4a + 5a + 6a) + (4a + 5a
+ 6a) = 45
| 4b + 4b + (4a + 5a + 6a) = 23
| 4b + 3h + 3h = 10
Vamos resolver por
substituição:
(4a + 5a + 6a) + (4a + 5a + 6a) + (4a + 5a + 6a) = 45
15a + 15a + 15a = 45
45a = 45
a = 45/45 = 1
4b + 4b + (4a + 5a + 6a) = 23
8b + 15a = 23
8b + 15 • 1 = 23
8b + 15 = 23
8b = 23 – 15
8b = 8
b = 8/8 = 1
4b + 3h + 3h = 10
4b + 6h = 10
4 • 1 + 6h = 10
4 + 6h = 10
6h = 10 - 4
6h = 6
h = 6/6 = 1
Com as substituições, vamos
saber quanto vale o ❓:
| 2h + 3b + 3b • (5a + 6a) = ❓
2h + 3b + 3b • 11a = ❓
2 • 1 + 3 • 1 + (3 • 1) • (11 • 1) = ❓
2 + 3 + 3 • 11 = ❓
2 + 3 + 33 = ❓
38 = ❓
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