Matemática
As capicuas ou palíndromos são alguns
números com propriedades interessantes. Se você lê os algarismos começando pela
direita ou pela esquerda, tem-se o mesmo numeral.
Nos dominós, também existem as peças
capicuas. Elas são capazes de levar à vitória em qualquer um de seus lados.
Vamos falar mais sobre as capicuas nesta
postagem. Também iremos relembrar alguns conceitos de análise combinatória
associados a elas.
[Imagem: Alexas Fotos] |
QUAL A CAPICUA MAIS FAMOSA?
Dentre as capicuas existentes, a mais famosa
é o número 171. Este número ficou conhecido como o símbolo dos ladrões e
trapaceiros.
Outra capicua bem conhecida é o número 666.
Ele possui má fama, sendo associado ao coisa-ruim.
QUANTAS CAPICUAS EXISTEM?
Assim como o conjunto dos números naturais,
infinitas são as capicuas existentes. O que vai mudar nelas é a presença ou não
de algarismos repetidos, e o número destes algarismos.
De acordo com o conceito, a partir de dois
dígitos já se teria uma capicua. Por outro lado, falar de dígitos espelhados
com menos de três parece fazer pouco sentido.
CALCULANDO O NÚMERO DE CAPICUAS, COM OU SEM REPETIÇÃO DE ALGARISMOS EM TORNO DO CENTRO
Mais interessante do que as próprias
capicuas seria calcular quantas delas existem para um dado número de
algarismos.
O primeiro passo é trabalhar com a metade da
capicua (se for com um número par de dígitos) ou com a metade mais um do número
par imediatamente inferior. Por exemplo: se eu quero calcular quantas capicuas
há com quatro (4) dígitos, vou considerar a metade, ou seja, (2). Já se eu
quisesse saber quantas capicuas há com cinco dígitos, vou trabalhar com três
dígitos:
(n - 1)/2
+ 1 =
(5 - 1)/2
+ 1 = 4/2 + 1 = 3.
O segundo passo é verificar se a capicua vai
poder ter repetição em torno do centro ou do dígito central. Se as capicuas
podem ter repetição de dígitos, temos um exemplo de arranjo com repetição. Caso
não puder acontecer, nosso limite está em vinte algarismos, em um caso de
permutação.
Capicuas com repetição de dígitos
Para arranjos com repetição de elementos,
tem-se, com k elementos tomados em conjuntos de p posições:
A (k, p)
= k^p.
No caso das capicuas, temos nove elementos
(dígitos) no extremo direito ou esquerdo (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9) e dez
dígitos para as demais posições (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9). Isso acontece
em função de zero à esquerda não possuir valor, e pelo espelhamento dos
dígitos.
Assim, se a capicua tiver n dígitos, sendo n
par:
Dígitos
considerados: n/2 ou 0,5n.
A (k, p)
= k^p.
O primeiro dígito aceita só nove termos,
então vamos usar a fórmula dos arranjos com repetição a partir do segundo
dígito:
Ncapicuas
= 9×10^(n/2 - 1) = 9 x 10^(0,5n - 1)
Já se a capicua tiver um número ímpar de
dígitos (m):
Dígitos
considerados: (m - 1)/2 + 1 = 0,5(m - 1) + 1
A (k, p)
= k^p.
O primeiro dígito aceita só nove termos,
então vamos usar a fórmula dos arranjos com repetição a partir do segundo
dígito:
Ncapicuas
= 9×10^[0,5(m - 1) + 1 - 1] =
Ncapicuas
= 9×10^[0,5(m - 1)]
Vamos exemplificar com capicuas contendo
quatro ou cinco dígitos que podem repetir:
(4)
Dígitos considerados: 4/2 = 2.
Ncapicuas = 9×10^(2 - 1) = 9 x
10^(1)
Ncapicuas = 90, ou seja,
existem noventa capicuas com quatro dígitos podendo haver repetição.
(5)
Dígitos
considerados: (5 - 1)/2 + 1 = 4/2 + 1 = 3.
Ncapicuas
= 9×10^[0,5(5 - 1)]
Ncapicuas
= 9×10^[0,5(4)]
Ncapicuas
= 9×10^(2) = 900, ou seja, tem-se novecentas capicuas diferentes considerando
poder existir repetição de dígitos, com cinco algarismos.
Capicuas sem repetição de dígitos até o centro/dígito central
Como só existem dez dígitos em nosso sistema
numérico, há um limite no número destas capicuas, não se conseguindo maiores do
que vinte algarismos. Neste problema, já estamos falando de arranjos simples
com k dígitos tomados p a p:
A' (k, p)
= k!/[(k - p)!]
O dígito mais à esquerda não pode receber o
número zero, logo temos nove opções para ele. Nos demais, podemos aplicar a
fórmula para os arranjos sem repetição (A'), considerando nove dígitos
novamente, pois acrescentamos o zero e tiramos outro dígito.
Assim, se
a capicua tiver n dígitos, sendo n par:
Dígitos
considerados: n/2 ou 0,5n.
Ncapicuas
= 9 × 9!/{[9 - (0,5n - 1)]!}
Ou se
forem m dígitos, com m ímpar:
Dígitos
considerados: (m - 1)/2 + 1 = 0,5(m - 1) + 1
Ncapicuas
= 9 x 9!/{[9 - (0,5(m - 1)+ 1)]!}
Vamos exemplificar com capicuas de quatro e
cinco dígitos:
(4)
Dígitos considerados: n/2 ou
0,5n = 2.
Ncapicuas = 9 × 9!/{[9 - (2 -
1)]!}
Ncapicuas = 9 × 9!/{[9 - 1]!}
Ncapicuas = 9 × 9!/{8!}
Ncapicuas = 9 × 9 = 81
Ou seja, existem oitenta e uma
capicuas sem dígitos repetidos e com quatro algarismos.
(5)
Dígitos considerados: (m - 1)/2 + 1 = 0,5(m - 1) + 1 = 0,5(5 - 1) +
1 = 3
Ncapicuas = 9 x 9!/{[9 - (0,5(5 - 1)+ 1)]!}
Ncapicuas = 9 x 9!/{[9 - (3)]!}
Ncapicuas = 9 x 9!/{6!}
Ncapicuas = 9 x 9 × 8 × 7 = 4.536.
Veja que há quatro mil, quinhentas e trinta e seis capicuas
possíveis com cinco algarismos, sendo dois algarismos distintos em torno do
dígito central, também diferente dos demais, como no número 43234, por exemplo.
E as maiores capicuas sem repetição de
dígitos em torno do centro - quantas são?
(20)
Dígitos considerados: n/2 ou 0,5n = 10.
Ncapicuas = 9 × 9!/{[9 - (10 - 1)]!}
Ncapicuas = 9 × 9!/{[9 - (9)]!}
Ncapicuas = 9 × 9!/{0!}
Como 0! = 1,
Ncapicuas = 9 × 9! = 9 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 =
3.265.920.
Pelas nossas contas, passam de três milhões
de capicuas diferentes contando com vinte dígitos, diferentes entre si em torno
do centro da capicua, como em 80976543211234567908.
□
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