Centroide de figuras planas

Matemática

O centroide ou centro geométrico de figuras planas é um ponto utilizado em equações matemáticas e físicas, como se todas as propriedades do corpo estivessem concentradas nele. Mas, é claro, essas aproximações exigem condições especiais. No caso de materiais homogêneos e que não variem suas propriedades ao longo de uma seção transversal, o centroide coincide com o eixo do centro de gravidade do corpo.

Pegando um elemento retangular de lados dx por dy, cujas coordenadas em um sistema cartesiano são (x, y). Calculando a área deste elemento, temos dA = dx · dy, e, multiplicando esta área por uma das coordenadas do elemento, temos os momentos estáticos de área dQ_X = xdA e dQ_Y = ydA.

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Agora, vamos supor que esse elemento dx por dy compõe uma área de uma figura qualquer. Essa área qualquer possui um centroide (x’, y’) e momentos estáticos de área Q_X = x’A e Q_Y = y’A. No início, foi dito que o centroide de uma figura concentraria as mesmas propriedades do conjunto dos trechos que compõem a figura plana. Logo, a soma dos momentos estáticos de área dQ_X e dQ_Y deve ser igual aos momentos estáticos Q_X e Q_Y.

Como somamos elementos infinitesimais por integrais, temos que:

ʃ dQ_X = Q_X e ʃ dQ_Y = Q_Y

Sabendo que Q_X = x’A e Q_Y = y’A,

ʃ dQ_X = x’A e ʃ dQ_Y = y’A

Isolando as coordenadas (x’, y’) do centroide, as quais queríamos descobrir:

x’ = ( ʃ dQ_X )/ A e y’ = ( ʃ dQ_Y ) / A

Se não precisamos tratar com figuras complexas, como áreas compostas de figuras retangulares, podemos sair das áreas discretas e usar somatórios:

x’ = ƩQ_Xi / A e y’ = ƩQ_Yi  / A

Outra forma de melhor visualizar:

x’ = Ʃ _i=1ⁿ(A_i · x_i) / Ʃ _i=1ⁿ (A_i) e y’ = Ʃ _i=1ⁿ (A_i · y_i) / Ʃ _i=1ⁿ (A_i).

1 – Qual o centroide da figura exemplo acima?

Note que se pode dividir em duas figuras, com áreas não infinitesimais. Ambas estão com um eixo coincidente, logo terão a mesma coordenada x, e y variará. Sendo dois quadrados de lado 2 e 3, temos A₁ = 4  e A₂ = 9, e A = 13.

Assim, y’ = Ʃ _i=1ⁿ (A_i · y_i) / Ʃ _i=1ⁿ (A_i) = [(4 · 1) + (9 · 3,5)] / 13 = 2,73

Note que:

a)  Para conhecer o centroide de figuras compostas, é preciso saber o centroide de cada uma das áreas planas as quais se separa para cálculo. Para um quadrado ou retângulo, é o encontro das diagonais. Para um triângulo retângulo, há um terço da medida dos catetos, partindo do ângulo reto e unindo estas coordenadas;

b) Para outras figuras, se pode fazer o raciocínio acima, integrando infinitesimais;

c) O centroide tende a se aproximar da porção de maior área concentrada.

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