Matemática
Para
a resolução deste corriqueiro problema no mundo da matemática, podem ser usadas
diferentes técnicas, porém a técnica geral mais efetiva está associada ao
cálculo diferencial. As derivadas são definidas como as funções que indicam
qual a taxa de variação de uma função, ou, em termos gráficos, a inclinação da
reta tangente à curva naquele ponto. Então, desta ideia é que partirá a nossa
solução.
[Imagem: Gerador de gráficos do Google] |
Para
que possamos encontrar a equação da reta tangente a uma curva em um dado ponto,
primeiramente devemos verificar se esta curva, dada por uma função f(x) é
diferenciável. Verificada esta condição, calcula-se f’(x) para o valor de x correspondente
ao ponto de interesse. Com isso, obtemos a inclinação da reta tangente à curva
naquele ponto.
Encontrada
a inclinação, precisamos apenas de um ponto da reta tangente, que,
curiosamente, é o próprio ponto (x,f(x)) do qual queremos que,
obrigatoriamente, haja passagem desta reta. Pela equação de encontrar uma reta
dada a inclinação m e um ponto (x0, y0), sendo y0
= f(x0):
(y
– y0) = m(x – x0)
(y
– f(x0)) = f’(x0) · (x – x0)
y
= f’(x0) · (x – x0) + f(x0)
y
= f’(x0) · x + (f(x0) - f’(x0) · x0)
[1]
Ex
1:
Dada a curva f(x) = x² + 2x – 5, qual a reta tangente ao ponto cuja abscissa é
8?
O
ponto cuja abscissa é 8 é o ponto (8, 75).
Encontrando
a derivada de f(x), temos que f’(x) = 2x + 2.
Substituindo,
para x0 = 8, temos f’(8) = 18, que é a inclinação da reta tangente ao
ponto.
Em
seguida, substituindo em [1], temos:
y
= 18x + (75 – 18 · 8) = 18x -69
Logo,
a equação da reta tangente ao ponto é:
y(x)
= 18x – 69.
Veja
o gráfico correspondente às duas curvas na figura acima. (as escalas horizontal
e vertical são diferentes).
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