Assim como nas funções que envolvem os espaços vetoriais dos números reais, também é válido falar em injetividade e sobrejetividade nas transformações lineares. Para falar nestas duas características em Aplicações lineares, é preciso introduzir o conceito de núcleo e imagem.
Núcleo é o conjunto de
todos os vetores em que T é aplicada e resulta no vetor nulo do espaço vetorial
contradomínio. Ou seja, dada T: U Þ V; o núcleo é o conjunto
N(T) = {u E U / T(u) = 0} Veja um exemplo:
1 – Descubra
o núcleo de T: R2 Þ R2
dada por T(x, y) = (2x, 3x).
De
acordo com a definição, N(T) = {(x,y) E R2/ T(x,y) = 0}.
N(T)
= {(x,y) E R2/
(2x,3x) = 0} = {(x,y) E R2/
x = 0} = {(0,y) E R2}.
A partir desta definição, se define a
injetividade nas aplicações lineares. Quando uma transformação linear qualquer
T é injetora, seu núcleo possui dimensão igual a zero, ou seja, T(u) = 0U
apenas se u = 0U.
Assim, N(T) = {0} quando T é injetora. No exemplo 1, T não é injetora pois dim
[N(t)] = 1. Veja mais um exemplo:
2 – Sendo
T: R3 Þ R3
dada por T(x, y, z) = (x - y, 2x + y, x + 5y) um operador linear. T é injetora?
Através
de nossa definição, analisaremos o núcleo de T.
N(T)
= {(x, y, z) E R3
/ T(x, y, z) = 0) = {(x, y, z) E R3
/ (x - y, 2x + y, x + 5y) = 0}
N(T)
= {(x, y, z) E R3
/ x – y = 0, 2x + y = 0, x + 5y = 0}
N(T)
= {(x, y, z) E R3
/ x = y , 3y = 0, x = -5y) = {(x, y, z) E R3 / x = y = 0}
N(T)
= {(0, 0, z) E R3}.
Como
dim [N(T)] = 1, T não é injetora. Note que quando uma das componentes de um vetor
não é usada pela aplicação linear, se torna variável livre no conjunto
N(T) e amplia a sua dimensão em uma unidade, impedindo que este possua dimensão
0 e indicando que T não é injetora.
Imagem é o conjunto de
todos os vetores resultantes da aplicação de T pertencentes ao espaço vetorial
contradomínio. Ou seja, dada T: U Þ V; a imagem é o conjunto
Im(T) = {v E V / T(u) = v} Veja um exemplo:
3 –
Sendo T: R3 Þ R3
dada por T(x, y, z) = (x + y, 2x, z + 5y) um operador linear. Que conjunto
representa a imagem de T?
Através
de nossa definição, formularemos Im(T).
Im(T)
= {(x, y, z) E R3
/ T(x, y, z) = (x + y, 2x, z + 5y)}. Chamando (x, y, z) de v, temos:
Im(T)
= {v E R3
/ T(v) = (x + y, 2x, z + 5y)}.
Análogo ao conceito usual de
sobrejetividade, uma transformação linear é sobrejetora se a imagem for
igual ao contradomínio. Explicitando esta afirmação em condições, sendo T: U Þ V uma aplicação
linear:
i) Im(T) é um subespaço vetorial de V;
ii) T é sobrejetora se, e somente se,
Im(T) = V, isto é, dim [Im(T)] = dim V.
Vejamos mais um exemplo:
4 –
Dada a transformação linear T: R3 Þ R3
dada por T(x, y, z) = (2x + y, x, y -z), sendo v = (x, y, z), esta é sobrejetora?
Descobrimos
a imagem de T:
Im(T)
= {v E R3
/ T(v) = (2x + y, x, y -z)}
Depois,
encontraremos um conjunto gerador para o subespaço Im(T).
Im(T)
= {v E R3
/ T(v) = (2x + y, x, y -z)} = {v E R3
/ T(v) = (2x, x, 0) + (y, 0, y) + (0, 0, -z)}
Im(T)
= {v E R3
/ T(v) = x(2, 1, 0) + y(1, 0, 1) + z(0, 0, -1)} = [(2, 1, 0), (1, 0 ,1), (0, 0,
-1)]
O
conjunto gerador de Im(T) é {(2, 1, 0), (1, 0,1), (0, 0, -1)}.
Após
escalonar os três vetores do conjunto gerador, pelo método prático mostrado no
post ‘Como saber se um conjunto é Linearmente Independente’, descobrimos
que estes três vetores são linearmente independentes. Assim, o conjunto B =
{(2, 1, 0), (1, 0,1), (0, 0, -1)} é base para Im(T) e, por conseguinte, dim
[Im(T)] = dim R3
= 3. Desta forma, T é sobrejetora, conforme queríamos verificar. □