Um conjunto é dito linearmente independente se não for possível a existência de um vetor que compõe esta conjunto ser escrito como combinação linear dos demais. É importante reconhecer esta característica em um conjunto, a fim de poder definir bases de espaços e subespaços vetoriais. A definição de um conjunto linearmente independente é a seguinte: dado um conjunto A = {v1; v2; v3; ... ; vk}, este conjunto é linearmente independente se a única combinação linear dos vetores de A (av1 + bv2 + cv3 + ... + nvk) quando esta é igual ao vetor nulo, ocorre quando a=b=c=...=n=0.
Exemplos:
1 – A={(1 2 4),
(2 5
0)} é LI (Linearmente independente)?
Pela
definição, somente se a=b=0, para a(1
2 4) +b(2 5 0) =
(0 0
0). Assim, (a 2a 4a) + (2b
5b 0) = (a + 2b 2a +
5b 4a) = (0
0 0). Para que a igualdade seja
verdadeira, 4a = 0
a =0; 2 ∙ 0 + 5b = 0, 5b = 0
b = 0. Desta forma, o sistema admite somente a solução trivial, com todos os
coeficientes iguais a zero.
2 - C = {(1
2), (3 6), (5 7)} é LI?
Seguindo
o mesmo raciocínio, a(1 2) + b(3 6) + c(5 7) = (0 0) = (a
2a) + (3b 6b) + (5c 7c) a + 3b + 5c = 0, 2a + 6b
+ 7c = 0. Escalonando o sistema, a + 3b + 5c = 0, -3c =0 c = 0, a = -3b.
Como b, variável livre, admite infinitos valores, b E IR, não admitindo apenas a solução trivial, C é LD (Linearmente
Dependente).
Há algumas regras (teoremas) que permitem
facilitar a definição de um conjunto linearmente dependente ou independente,
entre elas, o vetor nulo sempre compõe conjuntos linearmente dependentes, pois
este vetor possui a propriedade de sempre poder ser escrito como combinação
linear de outros vetores. Havendo um vetor que é múltiplo escalar de outro
dentro de um mesmo conjunto, faz com que este seja LD.
Bases são conjuntos dos quais, feitas
todas as combinações lineares de seus elementos (no caso, vetores), se obtém
todos os vetores de um espaço ou subespaço vetorial. O número de vetores nestes
conjuntos é fixo, de acordo com os espaços e subespaços gerados, e igual para
todas as bases de um mesmo espaço vetorial. Este número é chamado dimensão, e é
denotado por dimV. Todo conjunto de vetores, cujos elementos pertençam a
um espaço V, somente é LI se possuir número de vetores menor ou igual à
dimensão de V. Exemplo:
3 – D = {[1 0
0], [0 1 0],
[0 0
1]}, D E M1 x 3 (IR),
(base
canônica) é LI?
Sim,
pois a[1 0 0] + b[0
1 0] + c[0 0 1] =
[0 0
0], se, e somente se, a=b=c=0. Ademais, dimM1 x 3 (IR) = 3, o mesmo número de vetores deste
espaço vetorial.
4 – E = {(3 4
0 0), (2 2
1 9), (4 6
8 9), (1 0 0 0), (0
0 1 2)}, E pertence ao IR3,
é LI?
Não,
pois dim IR3
= 3, e E possui 4 vetores sendo, obrigatoriamente, LD.
Um dispositivo prático para descobrir se
um conjunto é linearmente independente é montar uma matriz em que cada linha é
o vetor (ou seu vetor-coordenada, no caso de matrizes e polinômios). Após
montada esta matriz, se deve escaloná-la, até que o número de zeros iniciais,
antes do primeiro número não nulo, seja diferente em cada linha. Por exemplo:
1 1 2 0
0 2 1 3
0 0
4 5
0
0
8 10
O número de zeros iniciais se repete em
duas linhas, logo, o escalonamento pede mais uma etapa. Assim:
1 1 2 0
0 2 1 3
0 0
4 5
0 0 0 0
Agora, encerrado o escalonamento,
observamos duas características: 1ª: o número de zeros iniciais é diferente em
todas as linhas? Sim. 2ª: Há linhas nulas nesta matriz? Há, o que indica que um
vetor era combinação linear dos demais. Logo, o conjunto arbitrário deste
exemplo é LD.
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