Matemática
“Três
casais de namorados vão sentar-se em um banco de uma praça. Em quantas ordens
diferentes os seis podem sentar-se de modo que cada namorado fique ao lado de
sua namorada?”
Esta
foi uma questão da OBMEP 2006 e que serve bem para ilustrar quando temos uma combinação.
Combinações são enumerações de possibilidades distintas em que a ordem dos
elementos altera o resultado final, o que é o caso acima, pois desejamos dispor
os namorados de forma que ambos possam estar um ao lado do outro. As
combinações, de forma geral, são representadas pela fórmula que segue:
[Imagem: Só Pensando]
C
= n! / [p! (n – p)!]
Sendo
n o número total de elementos disponíveis para escolha e p a quantia que será ‘tomada’
entre eles para compor uma combinação. Porém, para este exemplo, não se
aplicaria este conceito direto, devido à segunda restrição que quem senta ao lado de
quem. Então, como resolver este problema?
Ou
princípio em análise combinatória é o de definir combinações com base em
quantas possibilidades ainda existem. Supondo que a primeira pessoa deseja se
sentar. Há 6 possibilidades diferentes para isto acontecer. Após a primeira
sentar, só há uma possibilidade para a
segunda pessoa. Após, há 4, 1, 2 e 1 possibilidades, seguindo o mesmo
raciocínio. Logo, a totalidade das combinações possíveis é de 6 · 1 · 4 · 1 · 2
· 1 = 48.
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