Até
agora, apresentamos em nosso blog as mais diferentes regras de derivação, de
forma que o cálculo das derivadas se tornasse mais fácil, evitando o uso da
definição por limites. Várias aplicações do dia-a-dia precisam dos
conhecimentos do Cálculo para se desenvolver. Lucratividade é a palavra
fundamental para um negócio. A melhor forma de uma embalagem, o melhor ritmo de
produção, os rendimentos de uma aplicação a curto, médio e longo prazo; são
problemas de otimização. Certamente você, leitor do blog, já ouviu falar neste
termo.
Para
resolver este tipo de problema, alguns conceitos precisam ser trabalhados, como
máximos e mínimos globais e locais.
Valor
máximo global é o valor em c tal que f(c) maior do que f(x) para todo
x E Domf. Para qualquer valor do conjunto domínio, o valor máximo absoluto
ou global em c é maior ou igual a qualquer valor do conjunto imagem da função.
Valor
mínimo global é o valor em c tal que f(c) menor do que f(x) para todo
x E Domf. Para qualquer valor de x, o valor mínimo absoluto f(c)
será menor ou igual a f(x).
Exemplo:
Temos
o valor máximo global da função f(x) em a e o valor mínimo global em b,
conforme visualizamos intuitivamente ao observar o gráfico da função.
Outros dois conceitos importantes são os de valor mínimo local e valor máximo
local.
Valor
máximo local é o valor em c tal que f(c) maior do que f(x) para todo
x que pertença a um intervalo aberto ]a,b[ contido em Domf. Para qualquer
valor deste intervalo do conjunto domínio, o valor máximo local em c é maior ou
igual a qualquer valor do conjunto imagem da função entre f(a) e f(b).
Valor
mínimo local é o valor em c tal que f(c) menor do que f(x) para todo
x que faça parte do intervalo aberto ]a,b[, subconjunto de Domf. Para
qualquer valor de x neste intervalo, o valor mínimo local f(c) será menor ou
igual a f(x).
Exemplo:
Restringindo
um intervalo do Domínio, percebemos que (c, f(c)) é um valor máximo local e (d, f(d)) é um valor
mínimo local. A imagem apenas explicitou este fato, já mostrado na imagem
anterior.
Máximos
globais também são os máximos locais. As funções podem ou não ter máximos e
mínimos locais e globais. A função cosseno, por exemplo, possui máximos locais
e globais em f(x) = 1 e f(x) = -1; ou seja, em múltiplos pares de π e múltiplos ímpares de π,
respectivamente.
Na
função y = x2, não há máximo global, assim como nas funções potência
de maior grau, que crescem indefinidamente. Porém há o mínimo global desta
função que é zero. Já a função y = x3 não possui máximos e mínimos,
nem globais, nem locais exceto restringindo o domínio, como veremos adiante.
Como
pudemos perceber, algumas funções possuem valores extremos, e o teorema a seguir
nos dá condições de dizer se uma função possui valores extremos.
Teorema do Valor
Extremo: se a função f é contínua em um intervalo fechado
[a,b], então f assume um valor máximo absoluto f(c) e um valor mínimo absoluto
f(d) em certos números c e d em [a,b].
Este
é um teorema de difícil demonstração, a qual omitiremos, mas sua aplicação é de
grande valia. É importante dizer que, pelo teorema do Valor Extremo, não
podemos fazer a mesma afirmação em uma função que seja descontínua ou em
intervalo aberto, usando este teorema. Uma função pode ter valores de máximo e
mínimo mesmo sendo descontínua.
O
Teorema do Valor Extremo nos afirma da existência dos pontos de máximo e mínimo
em uma função contínua em um dado intervalo fechado, mas não nos diz como encontrá-lo.
Um fato interessante que pode ocorrer com os valores de máximo e mínimo é
ilustrado abaixo:
Observe
que a função f(x) é diferenciável em a e b, cujos pontos de máximo e mínimo estão
em (a, f(a)) e (b, f(b)) respectivamente. A derivada indica a inclinação da
reta tangente à uma curva em um dado ponto, a qual, nos pontos dados, é igual a
zero (f’(a) = 0 e f’(b) = 0). Esta observação fez surgir outro teorema, o qual
afirma a veracidade deste fato:
Teorema de Fermat:
Se
f possuir um extremo local em c e se f’(c) existir, então f’(c) = 0
O
Teorema de Fermat foi assim designado em homenagem o advogado francês Pierre de
Fermat (1601-65), matemático amador (por não viver da matemática), que junto
com Descartes é pai da Geometria Analítica, e tem importantes contribuições no
Cálculo Diferencial.
Devemos
estar atentos ao fato de que nem sempre os extremos (tanto globais quanto locais)
podem não ser indicados simplesmente encontrando as raízes da expressão da
função derivada quando esta é igual à zero. O Teorema de Fermat afirma que a
derivada é igual a zero em um extremo, se e somente se a função for
diferenciável neste extremo e estivermos realmente tratando de um extremo.
Portanto, devemos ter cautela ao usar o Teorema de Fermat, ainda mais se não
possuirmos o gráfico de uma função por perto.
Exemplos:
1 – f(x)
= x3
é uma função contínua e diferenciável em toda a sua extensão. A derivada de f,
f’(x) é 3x2,
que, em x igual a zero, vale zero (f’(0) = 0). Todavia, não há extremos locais
ou globais em 0, este é apenas um valor de x em que a derivada é igual a zero.
Esta função não possui extremos locais, portanto.
2 – f(x) = lxl possui um único
mínimo local e global em 0. Todavia, não poderíamos encontrá-lo usando o
Teorema de Fermat, pois f’(0) não existe, mesmo que a função seja contínua.
Dessa
forma, o Teorema de Fermat sugere que encontrar valores em que f’ é igual a
zero é apenas uma forma de começar a encontrar os valores extremos, mas não a
única. Então, surge do Teorema de Fermat a definição de número crítico,
que é um valor c no Domínio de f onde f’(c) = 0 ou f’(c) não existe. Exemplo:
3 – f(x) = x3/5(4
- x). Por meio da regra do produto, obtemos f’(x) = (12 – 8x)/ (5x2/5).
Em seguida, descobrimos os números em que f’ é igual a zero ou f’ não existe
(neste caso, quando o denominador é igual a zero), e descobrimos os números
críticos 0 e 3/2.
Os
extremos a e b de um intervalo fechado no qual quisermos descobrir os extremos
globais, também são considerados números críticos pois, em alguns casos, são
eles mesmos os extremos em [a,b]. Usamos o seguinte método para calcular os
extremos um intervalo fechado:
Método do
Intervalo Fechado: Em um intervalo [a,b] fechado, encontramos
os seus extremos globais aplicando as seguintes etapas:
1 – Calcule a expressão para a derivada da função original;
1 – Calcule a expressão para a derivada da função original;
2 – Descubra os números críticos de f (valores para os quais f’ = 0 ou f’ inexiste);
3 – Calcule f nos números críticos e nas extremidades do intervalo;
4 – Os extremos globais em f no intervalo
[a,b] serão respectivamente (c, f(c)) e (d, f(d)) sendo c e d os valores de x
para os quais f assumiu o maior e menor valor, máximo global e mínimo global,
respectivamente.
Exemplo:
4 – Encontre os valores máximo e mínimo
absolutos para a função f(x) = x3 - 3x2
+ 1 em [-1/2, 4]:
Como
a função é contínua no intervalo dado, podemos usar o método do Intervalo Fechado.
Encontramos f’(x) = 3x2 - 6x. Os valores em que f’ = 0 são x = 0 ou x = 2,
que estão contidos no intervalo [-1/2, 4] (é importante ficar atento a este
detalhe: podemos obter valores em que f’=0 que não estejam em [a,b]!). Então,
usamos -1/2 e 4, os próprios valores de extremidade do intervalo também. Calculamos
f nestes quatro pontos:
f(0)
= 1; f(2) = -3; f(-1/2) = 1/8 e f(4) = 17
Então,
concluímos que f possui mínimo global em 2 e máximo global em 4 no intervalo [-1/2,
4].□